Matemática
UFRJ
Um estudante caminha diariamente de casa para o colégio, onde não é permitido ingressar após, às 7 h. No trajeto ele é obrigado a cruzar três ruas. Em cada rua, a travessia de pedestres é controlada por sinais de trânsito não sincronizados. A probabilidade de cada sinal estar aberto para o pedestre é igual a 2/ 3, e a probabilidade de estar fechado é igual a 2/ 3. Cada sinal aberto não atrasa o estudante, porém cada sinal fechado o retém por 1 minuto. O estudante caminha sempre com a mesma velocidade. Quando os três sinais estão abertos, o estudante gasta exatamente 20 minutos para fazer o trajeto. Em um certo dia, o estudante saiu de casa às 6 h e 39 min. Determine a probabilidade de o estudante, nesse dia, chegar atrasado ao colégio, ou seja, chegar após às 7 h.
Resolução:
O estudante chegará atrasado se ficar retido em 2 ou 3 sinais fechados.
1º sinal |
2º sinal |
3º sinal |
||||
F |
F |
A |
1/3 . 1/3 . 2/3 = 2/27 | |||
F |
A |
F |
1/3 . 2/3 . 1/3 = 2/27 | |||
A |
F |
F |
2/3 . 1/3 . 1/3 = 2/27 | |||
F |
F |
F |
1/3 . 1/3 . 1/3 = 1/27 |
2 /27 + 2/27 + 2/27 + 1/27 = 7 /27
O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B possui 7 elementos. Quantas funções
t:A↦B podem ser formadas? Quantas dessas funções f = A↦B são injetoras?
Resolução:
1ª pergunta:
Cada elemento de A tem 7 opções de imagem.
Logo, teremos 7x7x7x7=2401
2ª pergunta:
Para ser injetora dois elementos de A não podem ter a mesma imagem. Isto é
a1Þ7 op.;a2Þ6 op.;a3Þ5 op.; a4Þ4 op.
T=7 x 6 x 5 x 4 = 840
UERJ
Ao final de um campeonato de futebol, foram premiados os jogadores que marcaram doze, treze ou catorze gols cada um, durante todo o campeonato. Qual foi o número de atletas premiados, sabendo que o total de gols marcados por eles é de115 e que somente cinco atletas marcaram mais de doze gols cada um ?
Resolução:
{ |
12x + 13y +14z = 115 |
y + z = 5 |
y |
z |
||
1 |
4 |
12x + 13 + 56 = 115 Þ 12x = 46 Þ x = (46/12) ÏN | |
2 |
3 |
12x + 26 + 42 = 115 Þ 12x = 47 Þ x = (47/12) ÏN | |
3 |
2 |
12x + 39 + 28 = 115 Þ 12x = 48 Þ x = 4 | |
4 |
1 |
12x + 52 + 14 = 115 Þ 12x = 49 Þ x = (49/12) ÏN |
x + y + z = 4 + 2 + 3 = 9 atletas
Resp.: 9 atletas
Considere uma peça metálica cuja forma é representada pela figura:
A (0,0)
B (0,3)
C (3,3)
D (3,1)
E (5,1)
F (5,0)
Uma reta r, passando por A, divide a peça em duas partes de mesma área. Determine a equação da reta r.
Resolução:
ABCDEF
* Fazendo x=3 na reta r, temos y= 3m.
UFRRJ
UFF
Um torneio de Xadrez, no qual cada jogador joga com todos os outros, tem 235 partidas. Quantos jogadores o disputam ?
Resolução:
x jogadores disputam o torneio :
Cx,2 = 253
x!/ 2!(x - 2)!= 253
x.(x -1) . (x - 2)! /1 . 2 . (x - 2)!= 253
x2 - x - 506 = 0
∆= (-1)2 - 4 . 1 . (+506) = 1 + 2024 = 2025
x = (1±45)/2 < |
23 |
22(valor não válido) |
Resposta: 23 jogadores
Seja f e g funções de R em R, tais que f(x)= 12x + 120 e g(x)= |x2 - 8x + 12|. O número de intersecções das duas funções é:
a)0
b)1
c)2
d)3
e)4
Resolução:
|x2 - 8x + 12|=12x + 120
Condição de existência:
12x + 120>=0 ... 12x>= -120 ... x>=-10
1ª Hipótese:
x2-8x+12= 12x +120 ...x2-20x-108=0
r=(-20)2 - 4.1.(-108)r=832
x = 8 ± v832/2
√832≅ 28
14(convém)
x = 20 ± 28/2 á
-4(convém)
2ª Hipótese:
x2-8x+12= -(12x +120) ... x2-8x+12= -12x -120 ... x2+4x+132
r= 42-4 x 1 x 132
S=-512
Não tem raízes
Gabarito: C
UNI-RIO
Após o torneio realizado por sua equipe, o técnico de futebol verificou que em dez cobranças,. Zito convertia 6 pênaltis, e que em 12 cobranças, Mengálvio marcada 8 gols. Por isso mesmo, pedindo-lhes que cobrassem os 2 únicos pênaltis a favor de sua equipe na partida que decidia o campeonato. Se Zito bateu um pênalti e Mengálvio, o outro, a probabilidade de os dois famosos craques terem errado é:
a) 2/5
b) 1/5
c) 2/15
d) 3/5
e) 1/15
Resolução:
Probabilidade de Zito converter o pênalti: 6/10 = 3/5
Probabilidade de Zito errar: 1 – (3/5) = 2/5
Probabilidade de Mengálvio assinalar o gol: 8/12 = 2/3
Probabilidade de Mengálvio errar: 1 – (2/3) = 1/3
Probabilidade de um e outro errarem: (2/5) . (1/3) = 2/15
Resposta: Letra C
As soluções da equação 3x+1 + 34--x -36=0 são a e b, sendo a>b. Calculelog3(a+b)+log(1-b).
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Resolução:
3x+1 + 34--x -36=0...3x.3+ 34/3x -36=0 ...3x = y
3y + 81/y - 36=0 ... 3y2 -36y +81=0 ... y2 -12y +27 =0 ... (y-9)=0
y' = 3 |
| |
y" = 9 |
|
3x = 3 |
3x = 32 |
||
x =1 |
x = 2 |
||
a = 2 |
b = 1 |
log(a+b) + log(1-b)
log32+1 + log2-1
log33 + log1
1+0=1